Crecimiento del Producto con Ecuación Diferencial

Ejemplo Numérico: Crecimiento del Producto con Ecuación diferencial. (*)

Suponga que un país tiene un crecimiento económico que es proporcional a su Producto Interno Bruto, decir que la tasa de crecimiento económico con el tiempo (dY/dt) es proporcional al producto (Y) respectivo en el tiempo (t). Si el factor de proporcionalidad fuera β Є(0;1), determine:

a) La ecuación diferencial.
b) Interprete el factor de proporcionalidad β.
c) Determinar la función de producto en el tiempo Yt.
d) Un estudiante de la Universidad Mayor San Andrés (UMSA) encontró por análisis econométrico de 67 años (1945-2011), que la tasa de crecimiento potencial de PIB de Bolivia es de 2,91% anual, y que en el año 1945 el PIB (PPA de 1990) fue de 4.314 millones dólares. Determinar el producto real para el año 2020, suponiendo una función de producto exponencial.
e) Muestre en un grafico la función de producto.

SOLUCIÓN
a) La ecuación diferencial. 
El planteamiento proporcional con Y=Yt será dY/dt ∝ Y
En forma de igualdad con el factor de proporcionalidad

dY/dt=βY

b) Interprete el factor de proporcionalidad β. 
Despejando β la ecuación de la anterior ecuación tenemos:

β =(dY/Y)/dt=∆%Y/dt

Esta ecuación nos dice que β es un incremento porcentual en el producto (Y) por unidad de tiempo, es decir es la tasa de crecimiento por unidad de tiempo.

c) Determinar la función de producto en el tiempo Y=Yt.
Partiendo de la ecuación dY/dt=β Y, separando variables, tenemos:

dY/Y=β dt

Integrando miembro a miembro tenemos:

∫ dY/Y=β∫ dt 

La función de producción general donde K y C son constantes

lnY=βt+K

Despejando Y con e^K=C=Yo, donde Yt es el producto inicial en el tiempo cero (t=0).

Y=e^(βt+K)=Ce^(βt)=Yo e^(βt)

La misma ecuación se puede obtener con una integral definida, con Yo=0

∫dY/Y=β∫dt

finalmente la función de producción particular o trayectoria de tiempo de la producción será: Yt=Yo e^(βt)

d) Un estudiante de la Universidad Mayor San Andrés (UMSA) encontró por análisis econométrico de 67 años (1945-2011), que la tasa de crecimiento potencial de PIB de Bolivia es de 2,91% anual, y que en el año 1945 el PIB (PPA de 1990) fue de 4.314 millones dólares. Determinar el producto para el año 2020, suponiendo una función de producto exponencial.

Si β=0,0291, con Y(1945)=Y(0)=4.314 y el número de años t=(2020-1945)+1=76. Reemplazamos los datos en la ecuación Yt=Yo e^(βt) y tenemos el producto para el año 2020.

Y(76)=4.314 e^(0,0291t)=39.388,17

Entonces el PIB (PPA de 1990) potencial de Bolivia del año 2020 posiblemente sea de 39.388 millones de dólares.

e) Muestre en un gráfico la función de producto
La función de producción en el tiempo es:

Gráfico 1. Bolivia, Crecimiento del Producto, 2013

(*) Es un ejemplo numérico resumido del Capítulo 1: Desarrollo, Planificación y los Proyectos, del texto "Preparación y Evaluación de Proyectos" del autor. (aplicación de ecuaciones diferenciales en economía)