Ejemplo Numérico: Interés Simple con Ecuaciones en Diferencia (*)
En sistemas dinĂ¡micos de interĂ©s simple, la tasa de cambio de dinero temporal es proporcional a un monto fijo, esta se puede representar como un cambio discreto dado por $$\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t}=rS_{0}$$, Si el monto de inversiĂ³n tuviera un precio $$S_{0}$$ de las cuales se obtuviera una rentabilidad simple $$r$$ por un periodo transcurrido, la cantidad de dinero a obtener en cualquier tiempo $t$ (en años, semestres, meses, semanas o dĂas) es una suma $$S_{t}$$.
a) Deducir la formula de interés simple por ecuaciones en diferencias.
b) Si invirtiera comprando una acciĂ³n preferente por 200 dĂ³lares de un proyecto industrial que ofrece 2% de dividendos mensuales, y que necesitara recuperarlo en 6 meses ¿A cuĂ¡nto deberĂa vender su acciĂ³n al finalizar el semestre?
c) ¿CuĂ¡l serĂa el beneficio de la inversiĂ³n?
d) Por la informaciĂ³n que tiene sobre la nueva industria, usted espera vender su acciĂ³n en dĂ³lares 230 ¿CuĂ¡nto es el beneficio que espera tener?
SOLUCIĂ“N
a) Deducir la formula de interés simple por ecuaciones en diferencias.
Si $$\Delta t$$ es un cambio unitario de tiempo discreto, entonces
$$$\frac{\Delta S_{t}}{\Delta t}=\frac{S_{t+1}-S_{t}}{(t+1)-t}=rS_{0}$$$
Tenemos la ecuaciĂ³n en diferencias de primer orden con coeficientes constantes
$$$S_{t+1}-S_{t}=rS_{0}$$$
Para $$r≠0 ; t=0,1,2,3…$$
Cuya ecuaciĂ³n puede resolverse por recursiĂ³n en $$S_{t+1}=S_{t}+rS_{0}$$, de manera que, finalmente el monto en cualquier tiempo serĂ¡:
EcuaciĂ³n 1: Interes Simple
$$$S_{t}=S_{0}(1+t\cdot r)$$$
Esta es la fĂ³rmula que se puede encontrar en los textos de matemĂ¡ticas financieras, administraciĂ³n financiera o finanzas corporativas, en este caso los intereses no generan nuevos interĂ©s.
b) Si invirtiera comprando una acciĂ³n preferente por 200 dĂ³lares de un proyecto industrial que ofrece 2% de dividendos mensuales, y que necesitara recuperarlo en 6 meses ¿A cuĂ¡nto deberĂa vender su acciĂ³n al finalizar el semestre?
Reemplazando datos en la ecuaciĂ³n (1), y teniendo en cuenta que un año tiene 12 meses.
$$$S_{6}= 200(1+6⋅0,02)=224 \;dolares$$$
c) ¿CuĂ¡l serĂa el beneficio de la inversiĂ³n?
El beneficio B serĂ¡ la diferencia actual entre $$S_{t}-S_{0}$$, despejando de la ecuaciĂ³n (1)
EcuaciĂ³n 2: Beneficio Actual Neto
$$$B=\frac{S_{t}}{(1+t\cdot r)}-S_{0}$$$
d) Por la informaciĂ³n que tiene sobre la nueva industria, usted espera vender su acciĂ³n en dĂ³lares 230 ¿CuĂ¡nto es el beneficio que espera tener?
Reemplazando datos en la ecuaciĂ³n (2)
$$$B=\frac{230}{(1+6\cdot 0,02)}-200=5,36 \;dolares$$$
Su beneficio esperado o Valor Actual Neto (VAN) es de dĂ³lares 5,36. Como es mayo a cero se recomienda invertir en la compra de la acciĂ³n.
(*) Es un ejemplo numĂ©rico resumido del Capitulo 2: IntroducciĂ³n al Proyecto, del texto "PreparaciĂ³n y EvaluaciĂ³n de Proyectos" del autor.
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